Karmaşık Analiz’e Giriş ve Uygulamaları I Mümin Poyraz Coşar

 

İçindekiler

1. Karmaşık Analiz Nedir ?

2. Karmaşık (Complex) Sayı Nedir ?

3. Karmaşık Analiz’in Tarihi

4. Karmaşık Fonksiyonlar ve Grafikleri

5. Holomorf Fonksiyonlar

6. Riemann Zeta ve Gama Fonksiyonları

7. Riemann Yüzeyi ve Küresi

8. Karmaşık Analiz Uygulamaları

9. Kaynakça

1. Karmaşık Analiz Nedir ?

Karmaşık Analiz, değişkenlerinde karmaşık kısma sahip fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Karmaşık Analiz ; fizik, mühendislik ve uygulamalı matematik gibi bir çok alanda kullanılır. [1] Kullanım alanlarına makalenin ileriki bölümlerinde daha detaylı değineceğiz. Kompleks Analiz’i anlamak için öncesinde bazı kavramların bilinmesi gerekmektedir. Bu kavramlardan en temeli, Karmaşık Analiz’in temelini oluşturan Karmaşık Sayı kavramıdır.

2. Karmaşık Sayı Nedir ?

Karmaşık Sayı, bir gerçel ve bir sanal (yanal, lateral, imajiner) kısımdan oluşan sayılardır.  Karmaşık Sayılar,  a,b | a ve b ∈ R olmak üzere z = a+bi şeklinde ifade edilirler. Bu gösterimde a, gerçel kısmı ; +bi, sanal kısmı ifade etmektedir. [2] Matematikte Karmaşık Sayılar, C kümesi ile ifade edilir. Kümenin ismindeki C, İngilizce’de karmaşık sözcüğünün karşılığı olan Complex sözcüğünden gelmektedir.

C ile gösterilen karmaşık küme, kartezyen uzay olarak şu şekilde ifade edilebilir.

C ≡ RxiR ≡ { (a,b) | a ∈ R ve b ∈ iR }

Bu 2 boyutlu kartezyen uzay, Argand Düzlemi olarak adlandırılır.[3][4] Karmaşık Sayılar, Argand Düzlemi’nde aşağıdaki gibi ifade edilir.

Şekil 1. Karmaşık Sayıların, Argand Düzleminde Gösterimi

Karmaşık Sayılar, Argand Düzleminde farklı şekillerde gösterilebilir. Bunlardan biri de Karmaşık Sayıların kutupsal (polar) gösterimidir. Kutupsal gösterimde, karmaşık sayının Argand Düzleminde belirttiği noktanın, (0,0) noktasından uzaklığı ve Reel (x) eksenle yaptığı açıdan faydalanılır. Bu gösterimde magnitüd[5], karmaşık sayının orijine olan uzaklığını ; argüman[6] ise reel eksenle yaptığı açıyı ifade eder. Karmaşık sayı z olmak üzere, karmaşık sayıların kutupsal formda gösterimi ;

z = r(cosφ +isinφ) şeklindedir. Bu gösterim, Kutupsal gösterimin trigonometrik formudur. Kutupsal gösterimin başka bir formu ise Euler formülü kullanılarak yapılan gösterimdir. Euler formülüyle yapılan gösterim ise şu şekildedir ;

z=re^iφ, bu gösterime de üstel form denir. Bahsi geçen iki gösterimde Kutupsal Gösterimin yorumlanmasıyla oluşturulmuştur.

Şekil 2. Karmaşık Sayıların Kutupsal Gösterimi

3. Karmaşık Analiz’in Tarihi

Günümüzden yaklaşık 500 yıl önce Scipione del Ferro (1465-1526) isimli İtalyan matematikçi, kübiklerin köklerini bulmak için bir formül arıyordu. Ve kübiklerin köklerini veren denklemi buldu. Scipione del Ferro’nun bulduğu kübik denklemi şu şekildedir;

Şekil 3. Scipione del Ferro’nun Kübiklerin Çözümü İçin Geliştirdiği Formül’ün Gerolamo Cardano Tarafından Geliştirilmiş Versiyonu

16.yy’da Avrupalı matematikçiler geçimlerini matematik düelloları ile sağlıyorlardı. Bu nedenle  Scipione del Ferro, bulduğu formülü düellolarda kullanmak için bir süre saklı tuttu. Del Ferro, bulduğu formülü ölüm döşeğinde öğrencisi Antonio Fior’a açıkladı. Antonio Fior, öğretmeni del Ferro’dan öğrendiği formülü düelloda İtalyan matematikçi Niccolò Fontana Tartaglia’a (1500-1557) karşı kullandı. Tartaglia ise düellodan önce kübik denklemlerin nasıl çözüleceğini bulmuştu ve düelloda Antonio Fior’u yendi. Tartaglia bulduğu formülü sonraki düellolarda kullanmak için saklıyordu. Ancak İtalyan matematikçi Gerolamo Cardano (1501-1576), Tartaglia’a yaptığı baskı sonucunda kübiklerin formülünü öğrendi ve kitabı Ars Magna’da yayınladı. Cardano formülde bazı sorunlar gördü. Bu sorunlar, formülün bazı kübik denklemler için geçerli olmamasıydı. Aslında formül, her kübik denklem için geçerliydi ancak Cardano, içi negatif olan kökler için bir yaklaşıma sahip değildi. Cardano, formülün eksik olduğunu düşündü ve formülü geliştirmeye karar verdi. Ancak her seferinde başladığı yere geri dönüyordu. Bu nedenle içi negatif olan kökleri imkansız kabul etti. Cardano’nun öğrencisi İtalyan matematikçi Rafael Bombelli (1526-1572) içi negatif olan köklerin var olabileceğini kabul etti. Ve içi negatif olan köklerin yeni bir sayı tipi olduğunu ifade etti. Böylece Karmaşık Sayı’nın keşfi ile birlikte Karmaşık Analiz’in temeli atılmış oldu. Ancak Bombelli’nin kendisi de dahil olmak üzere birçok matematikçi içi negatif olan kökleri bir uydurma olarak kabul etti. Bu yüzden √-1  için “Sanal” veya “İmkansız” gibi isimler verildi. Bombelli’nin keşfinden yüz elli yıl kadar sonra Euler, √-1 için i sembolünü kullanmaya başladı. Euler, karmaşık sayılar hakkında birçok çalışma yapmasına rağmen karmaşık sayıların hayal ürünü olduğunu düşünmekteydi ve karmaşık köklere sahip olan denklemlerin aslında köklerinin olmadığını savunmuştur. Karmaşık Sayıların var olduğunun kabulü, Gauss’un Karmaşık Sayılar üzerinde yaptığı çalışmalara dayanır. Gauss’un çalışmalarından faydalanan Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), Karl Weierstraß (1815-1897) ve Bernhard Riemann (1826-1866) Karmaşık Analiz’i bir matematik dalı haline getirmişlerdir. [1][7]

4. Karmaşık Fonksiyonlar ve Grafikleri

Karmaşık fonksiyon, fonksiyondaki bağımsız ve bağımlı değişkenden en az birisinin karmaşık kısma sahip olduğu fonksiyonlardır. [8] Kompleks fonksiyonlarda, gerçel ve sanal kısım aşağıdaki gibi ayrı ayrı incelenebilir.

x,y ∈ R ve u(z), v(z) gerçel değerli fonksiyonlar olmak üzere ;

f(z) = u(z)+iv(z)

Bu şekilde fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarının ayrı ayrı incelenmesi fonksiyonların anlaşılmasını kolaylaştırır.

Karmaşık fonksiyonların, bağımsız ve bağımlı değişkeninden en az birisinin gerçel ve sanal kısma sahip olması karmaşık fonksiyonların grafiklerinin alışılmışın dışında olmasına neden olur. Bunun nedeni karmaşık sayıların, 2. bölümde bahsettiğimiz üzere kartezyen uzayda, iki bileşenli bir nokta olarak ifade edilmesidir. Hem bağımsız değişkenin hem de bağımlı değişkeni iki bileşene sahip  karmaşık fonksiyonların grafikleri 4. boyutta incelenir.

Şekil 4. Karmaşık Fonksiyonların 4. Boyutta Grafiği ; f(z) = w,  z=x+yi, w=u+vi

Grafikteki karmaşık fonksiyon incelendiğinde z karmaşık sayısını, w karmaşık sayısına eşleştirdiği görülür. Grafik 3 eksenli gibi görünse de grafikteki renkler, w karmaşık sayısının sanal kısmını ifade eder. Böylece grafik, 4 eksende çizilmiş olur, 4. eksen renklerle ifade edilir.

Karmaşık fonksiyonlar 3 eksen + renk ekseni ile gösterilebilse de her zaman bu şekilde gösterilmek zorunda değildir. Karmaşık fonksiyonlar, 2 eksen + 2 renk ekseni ile de ifade edilebilir. Karmaşık fonksiyonlar 2 eksen + 2 renk ekseni ile ifade edilirken “domain coloring” yöntemi kullanılır. Domain coloring yöntemi, Argand Düzleminin farklı renk ve parklaklık değerleriyle gösterimidir. Böylece Argand Düzlemi tanım kümesindeki z’i, renkler ve parlaklık değerleri ise görüntü kümesindeki w değerini ifade eder.[9]

5. Holomorf Fonksiyonlar

Holomorf kelimesi, Yunanca "tam" anlamına gelen őλoς (holos) ve "form" anlamına gelen μoρφń (morphe) kelimelerinden oluşur. [10]. Holomorf kelimesi Fransız matematikçiler Charles Auguste Briot (1817-1882) ve Jean-Claude Bouquet (1819-1885) tarafından matematik literatürüne sokulmuştur.

Holomorf fonksiyonlar, Karmaşık Analiz’in temel fonksiyonlarından biridir. Holomorf fonksiyonlar, C’nin bir altkümesinde tanımlıdır ve bu altkümedeki her noktada türevli olan karmaşık fonksiyonlardır. [11] [12] Holomorf fonksiyonların gerçel fonksiyonlarla temel farkı, gerçel türevlenebilir fonksiyonların tamamı sonsuz defa türevlenemezdir ancak holomorf fonksiyonların tamamı sonsuz defa türevlenebilirdir.

Değişkenlerinde karmaşık kısma sahip fonksiyonlar ve karmaşık katsayılı tüm polinomlar Kompleks Küme’de holomorftur. Holomorf fonksiyonlara bir örnek olarak karekök fonksiyonunun euler sayısını kullanılarak tanımlanmış halini verilebilir.  verilen fonksiyon ln(z)’in holomorf olduğu her yerde holomorftur ve grafiği aşağıdaki şekildedir.

Şekil 6.  f(z) =Fonksiyonunun Karmaşık Analizdeki Grafiği

6. Riemann Zeta ve Gama Fonksiyonları

6.1 Riemann Zeta Fonksiyonu

Riemann Zeta Fonksiyonu, Alman matematikçi Bernard Riemann tarafından bulunmuş olan fonksiyondur. Riemann Zeta Fonksiyonu, Yunanca ζ (Zeta) harfi ile gösterilir ve tanımı aşağıdaki şekildedir.

Şekil 7. Riemann Zeta Fonksiyonu

Fonksiyonda s (s=σ+it), bir karmaşık sayıyı ifade eder ve s değerinin gerçel kısmı (σ) > 1 ise fonksiyon yakınsak bir toplam veya integral olarak yazılabilir. [13]

Şekil 8. Riemann Zeta Fonksiyonu’nun İntegral Dönüşümü

Riemann Zeta Fonksiyonu, başta analitik sayı teorisinde asal sayıların dağılımı olmak üzere fizik, olasılık teorisi ve uygulamalı istatistikte önemli bir yere sahiptir. 

Şekil 9. Riemann Zeta Fonksiyonunun Domain Coloring Grafiği

6.2 Gama Fonksiyonu

Gama Fonksiyonu, faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve negatif olmayan reel sayılar için genişletilmesiyle oluşturulmuş bir fonksiyondur. [14] Gama Fonksiyonu, 1729 yılında matematikçi Leonhard Euler tarafından keşfedilmiştir. Gama Fonksiyonu, Yunanca Γ (Büyük Gama Harfi) ile temsil edilir.

Şekil 10. Gama Fonksiyonu, Re(z) > 0. 

Gama Fonksiyonu, Şekil 10. ile tanımlanır.

Şekil 11. Gama Fonksiyonu’nun Gerçel Eksende Grafiği,  Γ(n) = (n-1)!

Grafikte görüldüğü üzere gerçel analizde Gama Fonksiyonu negatif tam sayılar ve 0 için tanımsız, negatif tam olmayan sayılar ve pozitif sayılar için ise tanımlıdır.

Eğer Γ(n) = (n-1)! fonksiyonunda n yerine 1 yazarsak 0!’in neden 1’e eşit olduğunu anlayabiliriz.

Böylece 0!’in nasıl 1’e eşit olduğunu göstermiş olduk.

Şekil 12. Gama Fonksiyonunun Karmaşık Analizdeki Grafiği

Bir önceki örnekte gerçek analizde geçerli olan durum karmaşık analizde de geçerlidir. Karmaşık Analizde çizilen grafikte görüldüğü üzere fonksiyon, Re(z) > 0 için ve z karmaşık sayısının negatif tam sayı olmayan negatif gerçel değerleri için yakınsaktır ; z karmaşık sayısının negatif tam sayı olan gerçel değerleri için sonsuzdur.

Gama Fonksiyonu, faktöriyeli pozitif reel sayılara ve karmaşık sayılara genellemesi ile matematikte diferansiyel denklemler, karmaşık analiz gibi önemli uygulamaların yanı sıra sürekli değişim içeren durumların modellenmesi için de oldukça önemli bir yere sahiptir.[15]

7. Riemann Yüzeyi ve Küresi

7.1 Riemann Yüzeyi

Bir Riemann yüzeyi, karmaşık analizde bağlantılı tek boyutlu “karmaşık” bir manifolddur. Riemann yüzeyleri, karmaşık analizde fonksiyonlar ve fonksiyonların davranışlarını incelemek için önemlidir. [16]

Holomorfik fonksiyonlar, Riemann yüzeyleri arasında tanımlanır ve bu fonksiyonların genel davranışı Riemann yüzeyleri yardımıyla incelenir. Riemann yüzeyleri karmaşık analizdeki 4 boyutlu grafiklerin daha kolay anlaşılmasını sağlar.

İki boyutlu gerçek manifoldların yönlendirilmesi ve ölçülmesiyle, iki boyutlu gerçek manifoldlar Riemann yüzeylerine dönüştürülebilmektedir.[17] Böylece her Riemann yüzeyi, iki boyutlu yönlendirilmiş manifold olarak tanımlanabilir.

Riemann yüzeylerine en temel örnek olarak C düzlemin kendisi verilebilir. Bundan hareketle C düzlemin her boş olmayan alt kümesi de Riemann yüzeyi olarak tanımlanabilir.

d = 2,3,4,5

w(z) = Lambert W Fonksiyonu (Detaylı bilgi için bkz. [18])

olmak üzere verilen denklemin çözümleri için Riemann yüzeyleri aşağıdaki şekildedir.

Şekil 13. Verilen Denklemin Çözümleri İçin Riemann Yüzeyleri [19]

7.4 Riemann Küresi

Riemann küresi, adını Alman matematikçi Bernhard Riemann’dan alan [20] karmaşık düzlemdeki karmaşık sayıları göstermek amacıyla Alman matematikçi Carl Neumann (1832-1925) tarafından  geliştirilen bir modeldir.

Şekil 14. Riemann Küresi

Riemann küresi, bir düzlemdeki her noktayı küre üzerindeki bir nokta olarak temsil etmenin bir yoludur. Düzlemdeki her bir noktanın, Riemann küresi üzerinde nasıl temsil edildiği aşağıdaki şemada gösterilmiştir.

Şekil 15. Riemann Küresi ve Düzlemdeki Noktaların Riemann Küresi Üzerinde Eşlenmesi

Yukarıdaki şemada görüldüğü üzere, önce Riemann küresi başlangıç noktasına (orijin, O) yerleştirilir. Ardından düzlemde bir nokta seçilir (z = x + yi) ve seçilen noktayı kürenin Kuzey Kutbu ile birleştiren bir doğru parçası çizilir. Çizilen doğru parçası küreyi tek bir noktada keser, doğru parçasının küreyi kestiği nokta z' olarak isimlendirilir. Böylece Riemann küresi kullanılarak z noktasının z' noktası ile birebir eşlenmesi sağlanır. Kürenin Kuzey Kutbunun (W), +sonsuz değerini ifade etmesiyle karmaşık düzlem üzerindeki tüm noktaların küre üzerinde birebir eşlenmesi sağlanır.

Riemann küresinin kuantum fiziğinde, başta foton polarizasyon durumları, ½ spinli büyük parçacıkların spin durumları ve göreceli gökküre modeli olmak üzere bir çok kullanım alanı vardır. [21][22]

8. Karmaşık Analiz Uygulamaları

8.1 Akışkanlar Mekaniğinde Kompleks Analiz Uygulamaları

Karmaşık analiz; soyut, işlevsiz ve sadece teorikte geçerli olduğu sanılsa da aslında kompleks analiz’in gerçek dünyada bir çok uygulama alanı vardır. Bunlardan biri Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiği (HAD, İng. Computational Fluid Dynamics (CFD)) olarak bilinen, akışkan akışlarını içeren problemleri analiz etmek ve çözmek için sayısal analiz ve veri yapılarını kullanan akışkanlar mekanik dalıdır. HAD uygulamalarında kompleks analizden sıklıkla yararlanılır.

Örneğin potansiyel akışı iki boyutta tanımlamak için karmaşık fonksiyonlar kullanılır. Potansiyel fonksiyon, potansiyel fonksiyonun gradyanı hıza eşit olacak şekilde tanımlanır.

Şekil 16. 11° Hücum Açısına Sahip NACA 0012 Kanat Profili Etrafındaki Potansiyel Akış

Hız ise u +vi karmaşık sayısı olarak ele alınır ; burada u, hızın xeksenindeki bileşenidir ve v, hızın yeksenindeki bileşenidir.

Kompleks analizden sıklıkla yararlanılan akışkanlar dinamiği ise bir çok uygulama alanına sahiptir. Bunlar ; Uzay ve Havacılık, Otomobil Endüstrisi, Makine Mühendisliği, Jeofizik, Nükleer Enerji Mühendisliği...

Şekil 17. Akışkanlar Dinamiğinin Otomobil Endüstrisinde Kullanımı, Görsel: [23]

8.2 Elektrik Mühendisliğinde Karmaşık Analiz

Karmaşık analizin sıklıkla kullanıldığı bir diğer alan Elektrik Mühendisliğidir.

Örnek vermek gerekirse bir batarya tarafından üretilen voltaj (gerilim), +24 Volt veya -24 Volt gibi gerçel sayılarla ifade edilebilir. Ancak aynı durum AC (Alternatif Akım) için geçerli değildir. AC voltajı iki parametre gerektirir. Bunlardan birinci parametre potansiyeli, ikinci parametre ise açıyı (faz) ifade eder. Buna dayanarak AC geriliminin iki boyutlu bir nicelik olduğunu söyleyebiliriz ve iki boyutlu nicelikleri ifade etmek için kompleks analiz kullanılabilir.

Şekil 18. AC Gerilimde Alternatörün Şaft Açısı ve Voltaj İlişkisi 

Yazar: Mümin Poyraz Coşar

9. Kaynakça

[1] https://www.britannica.com/science/analysis-mathematics/Complex-analysis, Erişim Tarihi : 01.02.2023
[2] Axler, Sheldon (2010). College algebra. Wiley. p. 262. ISBN 9780470470770.
[3] Weisstein, Eric W. "Argand Diagram." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.    https://mathworld.wolfram.com/ArgandDiagram.html, Erişim Tarihi : 01.02.2023
[4] Pedoe, Dan (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
[5] Apostol, Tom (1981), Mathematical Analysis, p.18
[6] Weisstein, Eric W. "Complex Argument." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/ComplexArgument.html, Erişim Tarihi : 01.02.2023
[7] https://static1.squarespace.com/static/54b90461e4b0ad6fb5e05581/t/5a6e7bd341920260ccd693cf/1517190204747/imaginary_numbers_are_real_rev2_for_screen.pdf, Erişim Tarihi : 01.02.2023
[8] https://complex-analysis.com/content/complex_functions.html, Erişim Tarihi : 01.02.2023
[9] https://complex-analysis.com/content/domain_coloring.html, Erişim Tarihi : 01.02.2023
[10] http://books.google.com/books?id=H8xfPRhTOcEC&dq, Erişim Tarihi : 01.02.2023
[11] Weisstein, Eric W. "Holomorphic Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/HolomorphicFunction.html, Erişim Tarihi : 01.02.2023
[12] Krantz, S. G. "Holomorphic Functions." Handbook of Complex Variables. Boston, 1999.
[13] Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Riemann Zeta Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html, Erişim Tarihi : 01.02.2023
[14] Weisstein, Eric W. "Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html, Erişim Tarihi : 01.02.2023
[15] Shiv Kant Rahul, Raj Shekhar Prasad, “Properties and Applications of Gamma Function”, International Journal of Science and Research (IJSR) ISSN: 2319-7064 SJIF (2019): 7.583
[16] Weisstein, Eric W. "Riemann Surface." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/RiemannSurface.html, Erişim Tarihi : 01.02.2023
[17] Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), Riemann Surfaces, 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90465-8
[18] Weisstein, Eric W. "Lambert W-Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html, Erişim Tarihi : 01.02.2023
[19] Trott, M. "Visualization of Riemann Surfaces of Algebraic Functions." Mathematica J. 6, 15-36, 1997.
[20] B. Riemann: Theorie der Abel'sche Funktionen, J. Math. (Crelle) 1857; Werke 88-144. The name is due to Neumann C :Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelsche Integrale, Leipzig 1865 (Teubner)
[21] https://arxiv.org/ftp/quant-ph/papers/0604/0604210.pdf, Erişim Tarihi : 01.02.2023
[22] R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. pp. 428–430 .ISBN 978-0-679-77631-4.
[23] https://www.ferrari.com/en-EN/competizioni-gt/articles/tech-insight-cfd-design-in-the-488-gte, Erişim Tarihi : 01.02.2023